Задачи тысячелетия… Они составляют семь сложнейших математических головоломок, охарактеризованных как важные классические задачи, решение которых не найдено вот уже в течение многих лет.

Автор Дмитрий Желябин. Пост в ВК.

Гипотеза Пуанкаре на сегодняшний момент является единственной из семи задач тысячелетия, которая была решена. И сегодня я хочу рассказать вам о том, что автором решения стал наш соотечественник Григорий Яковлевич Перельман, по совместительству гений-затворник. О нём можно много и интересно рассказывать, но сосредоточимся на самой гипотезе, разъясним её на пальцах, а также не обойдём стороной исступлённые убеждения великого математика.

Так что же за гипотеза Пуанкаре и с чем её едят? Для всеобщего понимания я объясню её, что называется, на пальцах. 

В исходной формулировке она звучит следующим образом: «Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере». Очень сложно и ничего не понятно! Итак, представьте себе слабо надутый воздушный шарик. Он как раз будет тем самым односвязным [цельным] компактным [ограниченным по размеру] трёхмерным многообразием без края [без дыр]. Если его мять, то можно придавать ему различные формы: кубика, банана и даже формы людей и животных. Но всё это разнообразие форм может превращаться в одну универсальную форму – шар. Единственное, во что не может превратиться шарик без разрывов – в бублик с дыркой (на языке математиков – тор). 

Гипотеза Пуанкаре утверждала, что все предметы, не имеющие сквозного отверстия, имеют одну основу – шар. К примеру, если мы слепим из пластилина кошку, мы можем умять её, согласно доказанной гипотезе, в шар и из него слепить, не употребляя разрывы, кролика или вагон. Если мы слепим уже известный нам тор, мы можем деформировать его в «восьмёрку» или кружку с ручкой, а вот в шар уже не удастся. Тор и сфера несовместимы – на математическом языке негомеоморфны. 
В чём же практичность теоремы Пуанкаре? Термин «односвязное компактное трёхмерное многообразие без края» содержит указания на предполагаемые свойства нашей Вселенной. Термин «гомеоморфно» означает некую высокую степень сходства, в известном смысле неотличимость. Теорема как попытка понять, какой формы может быть наша Вселенная. Не исключено, что все мы как раз в трёхмерной сфере и находимся, что наша Вселенная является той самой трёхмерной сферой. Не стоит думать, что мы живём в обычном трёхмерном шаре, который вы вырисовывали на стереометрии, вычисляя его радиусы и объёмы. Трёхмерная сфера – всего дишь поверхность четырёхмерного шара, а его, в свою очередь, уже невозможно представить человеческому глазу. 

Перельман, выкладывая своё доказательство в сеть на сайте arXiv.org в 2002 году, ограничился лишь общим математическим рассуждением в виде формул на трёх страницах, без подробных вычислений. Он промолчал, когда его китайские коллеги «разжевали» его доказательство подробно, забыв при этом упомянуть его самого в качестве автора самого доказательства.

Хочется также отметить, что Григорий Яковлевич абсолютно не интересовался коммерческой выгодой от своей деятельности, отказавшись от многих престижных премий. Отказался он от $1 млн за решение той самой гипотезы. Перельман, отвергая медали и премии спрашивает: «А зачем они мне? Общество вряд ли способно всерьёз оценить мою работу. Если я владею Вселенной, то зачем мне в таком случае миллион?» 

Доказательство гипотезы Пуанкаре в целом означает, что если наша Вселенная обладает всеми свойствами односвязного компактного трёхмерного многообразия без края, то она и есть та самая трёхмерная сфера. Григорий Яковлевич смог понять это, а также блестяще доказать понятое. Возможно, он даже смог вообразить четырёхмерный шар, ведь кто его знает? И именно тогда становится понятно, почему Перельман так уверен в обуздании Вселенной».